Cos’è la Meccanica Quantistica e Come è Nata: Dalla Scoperta di Planck ai Grandi Fisici del Novecento

Ci troviamo appena agli inizi del Novecento, quando la fisica affronta uno dei suoi massimi periodi di crisi, in cui venne rimessa in discussione tutta la meccanica classica; tutto ciò perché non si riuscivano ancora a mettere insieme i dati sperimentali e teorici riguardanti l'emissione del corpo nero, infatti, le previsioni teoriche classiche indicavano che la radiazione emessa da un corpo nero si sarebbe dovuta intensificare in modo esponenziale all'aumentare della frequenza, tendendo all'infinito; invece, i dati sperimentali, mostravano un picco di emissione e poi una diminuzione a frequenze maggiori.

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Colui che sollevò il problema fu il fisico Lord Rayleigh agli inizi del XX secolo, ciò portò alla cosiddetta "catastrofe ultravioletta". Il problema venne risolto solo il 19 ottobre del 1900 , per merito del fisico Max Plank, il quale annunciò la risoluzione del problema dinnanzi alla Deutsche Physikalische Gesellschaf e poi la divulgò con " Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum" (Sulla teoria della legge di distribuzione dell'energia nello spettro normale), introducendo così il concetto di quantizzazione dell'energia attraverso la sua formula,

L'energia di ciascun quanto (E) è uguale alla frequenza (ν) della radiazione moltiplicata per la costante universale h (costante di Planck; 6,626 x 10⁻³⁴ J·s). La costante di Planck mostra, quindi, che l'energia della radiazione elettromagnetica non è continua, ma viene assorbita o emessa in pacchetti discreti chiamati quanti. 

L'ipotesi di Plank fu poi seguita da un altra altrettanto sorprendente, quella dell'italo-francese Louis Victor Pierre Raymond De Broglie, il quale nel 1905 ipotizzò che l’energia di un’onda elettromagnetica era da considerarsi come fatta di corpuscoli di piccolissime dimensioni e che fosse localizzata nei quanti di luce (Lichtquanten) indipendentemente proposti da Planck, spiegando così l'effetto fotoelettrico scoperto proprio da Einstein e dimostrando, tra le altre cose, che le loro proprietà fossero identiche a quelle dei protoni e degli elettroni. Così anch'egli spinse sempre di più l'attenzione dei fisici del tempo verso questa nuova teoria fisica, tanto da portare alla nascita di veri e propri congressi, i congressi di Solvey; fondati dall'industriale belga Ernest Solvay, che si tennero a Bruxelles a partire dal 1911 per affrontare problemi scientifici importanti e attuali. Questi congressi portarono all' avvicinarsi di De Broglie con un altro brillante fisico, Arthur Compton, il quale fu un importante fisico sperimentale dell'epoca della Washington University di Saint Louis, infatti, nel maggio del 1923 pubblicò nel "Physical Review" l’ipotesi che quando un quanto associato a un raggio X è soggetto a diffusione e incontra uno sciame di elettroni, spende interamente la sua energia e il suo impulso su un solo elettrone che a sua volta diffonde il raggio in una direzione definita. Quest'ipotesi, conosciuta come "Effetto Compton" fu immediatamente confermata dagli esperimenti di Louis De Broglie, il quale partì supponendo che a un corpuscolo di massa m in moto fosse associato un qualche ‘fenomeno periodico’ che, per il corpo in quiete, avesse frequenza

con

​ dove mc² è l’energia di riposo, e che avesse un’energia pari a mc² γ, dove γ è il fattore di Lorentz.

in cui c è la velocità della luce e u la velocità del corpo in movimento. Per effetto Doppler trasversale, cioè a causa della variazione di frequenza delle onde ritornate indietro rispetto a quelle propagatesi in avanti rispetto a un osservatore stazionario, si sarebbe invece dovuto misurare una frequenza pari a:

Per risolvere questa discrepanza tra le predizioni dell’effetto Doppler e le conclusioni della meccanica classica, de Broglie introdusse l’idea di:

«une onde fictive, associée au mouvement du mobile» di frequenza ν, dimostrando quindi che se a un certo istante il fenomeno periodico associato alla particella è in fase con l’onda, questo accordo persisterà a tutti i tempi, quindi:

sia un numero intero, condizione che corrisponde alla relazione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld, perché nella situazione descritta l’integrale J dell’azione lungo un periodo è proprio

che quindi risulta pari a un multiplo intero della costante di Planck.

Le idee di Plank furono poi sviluppate dal fisico danese Niels Henrik David Bohr, per sviluppare la teoria della struttura elettronica dell’atomo nel 1913, che raggiunse il suo splendore con il principio di Aufbau. Esso stabiliva come distribuire gli elettroni nelle orbite atomiche degli elementi del sistema periodico e venne annunciato per la prima volta insieme al suo modello atomico nel 1913 nel "Philosophical Magazine". Ad obbiettare la sua teoria fu lo spettroscopista Alfred Fowler, dicendo che le lunghezze d’onda calcolate da Bohr non corrispondevano correttamente ai dati sperimentali; al quale egli rispose dicendo che la sua obiezione, poteva essere evitata per l’idrogeno o lo ione elio+ , tenendo presente che se si sostituisce alla massa bruta del nucleo la cosiddetta massa ridotta.

dove m1 e m2 sono la massa del protone e dell’elettrone, rispettivamente, le discrepanze notate da Fowler spariscono e l’accordo con i dati sperimentali diviene praticamente perfetto. Il 27 ottobre 1913 Fowler riconobbe pubblicamente che i calcoli di Bohr erano in accordo con i dati spettroscopici in una nota pubblicata su «Nature». Nel 1920 Sommerfeld propose l’esistenza di un quarto numero quantico associato a una ‘rotazione nascosta’ delle particelle, per descrivere la risposta anomala di atomi a molti elettroni a un campo magnetico esterno (effetto Zeeman anomalo). Colui che riuscì a scovare questa rotazione fu proprio Wolfgang Pauli, il quale nel 1925 propose il suo Ausschliessungsprinzip, il principio di esclusione che dimostrava l’esistenza del quarto numero quantico.

Il principio di esclusione di Pauli, stabilisce che due elettroni non possono avere la stessa quaterna di numeri quantici. Quando un elettrone si trova in uno stato di energia definito da quattro valori dei numeri quantici, quello stato è occupato e non può ospitare un altro elettrone.

All’inizio degli anni Cinquanta, Enrico Fermi si era recato al laboratorio scientifico di Los Alamos nel New Messico per iniziare quella che per lui sarebbe stata l'ultima ricerca della sua carriera, per farlo utilizzò la maggior capacità al mondo di calcolo numerico disponibile per quei tempi, fornita dal primo esemplare di calcolatore elettronico (Maniac), realizzato nel contesto dello sviluppo delle armi nucleari e termonucleari.

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L’idea originale di Fermi era quella di simulare nel calcolatore l’analogo di un cristallo mono-dimensionale (un modello teorico o una struttura fisica con ordine ripetitivo lungo una singola dimensione) di atomi, costituito da una lunga catena di particelle collegate da molle elastiche che obbedissero alla legge di Hooke ma con la condizione che le molle non fossero puramente armoniche, ma avessero un potenziale che oltre a termini quadratici contenesse anche termini cubici (modello FPU-α) e quartici (modello FPU-β).  Lo scopo dell’esperimento era di valutare numericamente la velocità di avvicinamento del sistema allo stato di equilibrio termodinamico. Se la catena fosse stata tenuta insieme da mole puramente armoniche il sistema, se non sottoposto a disturbi esterni, avrebbe oscillato all’infinito sempre con la stessa frequenza perché questa sarebbe stata la condizione normale di equilibrio termico.

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Il risultato, inatteso, dell’esperimento dimostrò invece una tendenza del sistema a ritornare periodicamente assai vicino alla situazione iniziale in cui l’energia era prevalentemente concentrata nel modo principale di oscillazione. Una spiegazione qualitativa del fenomeno fu proposta negli anni Sessanta da Martin Kruskal e Norman Zabusky, che ripetendo l’esperimento numerico di Fermi-Pasta-Ulam su una catena continua di oscillatori descritta da un’equazione alle derivate parziali, individuarono la natura solitonica del sistema. Osservarono infatti che i solitoni (è un pacchetto d’onda solitario che si auto-sostiene e che si forma per cancellazione di effetti non-lineari e dispersivi nel mezzo di propagazione), pur interagendo tra loro, tendevano a riformarsi, spiegando così le ricorrenze notate nell’esperimento originale. E fu così che nel maggio 1955 John Pasta and Stanislaw Ulam consegnarono un report tecnico intitolato Studies of Non-linear Problems: Los Alamos Scientific Laboratory Technical report LA-1940 che rapidamente assunse un ruolo dirompente nelle conoscenze del tempo sui sistemi in evoluzione temporale.

Nel 1924 in alcuni dei maggiori centri di ricerca circolava da tempo il sospetto che a limitare l'unione tra la meccanica classica e la meccanica quantistica fosse il concetto di orbita. Tra le maggiori menti che si cimentarono nel dare la risposta a questa domanda, vi era il brillante fisico tedesco Werner Karl Heisenberg, il quale per descrivere la dinamica dell’elettrone in termini quantistici mantenendo l’uso di coordinate e momenti, Heisenberg introdusse variabili discrete:

per gli stati stazionari e

 per le transizioni tra stati, insieme ai corrispondenti momenti

 e

Operatori di questo tipo sono analoghi ai cosiddetti operatori “ladder” (di creazione e distruzione), utilizzati in seguito nel formalismo dell’oscillatore armonico e del momento angolare.

Sviluppando il formalismo, Heisenberg si rese conto che per grandezze con doppi indici, come le coordinate e i momenti, i prodotti assumevano la forma di somme su tutti gli stati quantici possibili, ad esempio:

Con sorpresa, notò che il prodotto non era commutativo, cioè:

un risultato rivoluzionario che segnò la nascita della meccanica delle matrici. Ma essendo poco pratico nel settore delle matrici colui che sviluppo maggiormente le sue scoperte fu Paul Dirac, che negli anni successivi Dirac si occupò delle teorie di campo e, in particolare, cercò di formulare equazioni adatte a descrivere l’elettrodinamica quantistica. Nel 1938 propose un modello relativistico classico dell’elettrone, nel tentativo di rafforzare il modello di Lorentz. Il suo obiettivo principale era conciliare relatività speciale e meccanica quantistica. Per farlo, generalizzò l’equazione di Schrödinger applicando le definizioni operatoriali dell’energia e del momento:

e utilizzò il formalismo dell’operatore hamiltoniano H. L’idea era partire dall’espressione relativistica dell’energia di una particella libera:

e costruire un’equazione delle onde che mantenesse sia la linearità in derivate (come la Schrödinger) sia la coerenza con la relatività. Da questo lavoro nacque l’equazione di Dirac, che descrive correttamente l’elettrone relativistico e ha predetto, tra le altre cose, l’esistenza dell’antimateria. La notazione da da egli utilizzata (bra-ket), fu introdotta da Dirac nel 1939, è divenne uno standard in meccanica quantistica per descrivere in modo elegante e compatto gli stati quantici. Uno stato è indicato con il ket

, mentre il suo complesso coniugato è rappresentato dal bra

In questa notazione, l’azione di un operatore HHH su uno stato quantico si scrive:

dove:

è un’autofunzione (o stato proprio) di H ed E è il corrispondente autovalore (per esempio, l’energia del sistema).

Questa formalizzazione permise di sistematizzare la meccanica quantistica come teoria lineare degli operatori negli spazi di Hilbert ( spazi vettoriali dotati di un prodotto scalare, completo rispetto alla norma indotta da questi prodotti scalari). Per i suoi contributi fondamentali, Dirac ricevette nel 1933 il premio Nobel per la fisica, condiviso con Schrödinger, “per la scoperta di nuove forme di teoria atomica”.

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Nel frattempo, per merito di uno dei colossi della fisica moderna, il fisico viennese Erwin Schrödinger, il quale studiando la termodinamica classica, si interessò ai sistemi continui, cioè sistemi in cui le grandezze fisiche (come temperatura o densità) variano in modo uniforme nello spazio, senza salti o interruzioni. Seguendo l’idea di Leibniz, considerava il continuo come una sequenza infinita di variazioni infinitesimali collegate tra loro senza discontinuità. Egli pensava però che l’analisi dell’evoluzione di sistemi continui potesse portare anche a definire grandezze discrete. Proprio per questo, nel Natale del 1925, Schrödinger si ritirò ad Arosa, sulle Alpi svizzere, accompagnato da un’amica viennese. In quel periodo di isolamento ebbe l’intuizione di combinare l’equazione delle onde con le idee di de Broglie, inserendo la lunghezza d’onda

 e l’energia

Applicando questi concetti, sviluppò un modello per descrivere la dinamica dell’elettrone nell’atomo di idrogeno, introducendo un insieme di funzioni d’onda ψ di n, base della sua equazione.

dove i è il numero immaginario √–1, V il potenziale in cui si muove l’elettrone è:

che può essere riscritta più semplicemente come:

In conclusione, l’evoluzione della teoria quantistica rappresenta una delle concezioni più rivoluzionarie della storia della scienza. Dal tramonto della fisica classica, incapace di spiegare fenomeni come la radiazione del corpo nero, emerse una nuova visione della natura: una realtà descritta non più in termini di continuità, ma di quanti, probabilità e leggi contrarie alle nostre intuizioni. Ispirata dalle grandi menti di Planck, Einstein, Bohr, Heisenberg, Schrödinger, Dirac, Pauli, fino a Fermi e molti altri, la fisica compì un salto concettuale senza precedenti, dando vita alla tecnologia moderna: semiconduttori, laser e calcolo quantistico. Questo straordinario viaggio scientifico ci ricorda che la conoscenza non segue mai una linea retta; nasce da crisi, dubbi, ipotesi audaci e verifiche sperimentali. È proprio quando le soluzioni sembrano fallire che si aprono le porte a nuove teorie capaci di cambiare per sempre il nostro modo di guardare l’universo. La meccanica quantistica non è soltanto un capitolo della storia della fisica: ci insegna, con delicatezza, le virtù senza tempo della curiosità e del coraggio intellettuale.