Introduzione ai Vettori
- Space Informer
- 7 nov 2025
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Abstract:
Questo argomento di introduzione ai vettori ed alle matrici, ha lo scopo di dare delle basi matematiche che siano poi applicabili alla fisica. Infatti, le grandezze fisiche non sono solo scalari ( temperatura, energia, volume, massa ecc...), ma anche vettoriali, delle grandezze che non indicano una sola proprietà, ma ben 3: direzione, verso e modulo.
Definizione di vettore:
Un vettore è una grandezza caratterizzata da un modulo, una direzione e un verso.
Per indicare un vettore si utilizza la seguente notazione:
w=AB=A-B.
Rappresentazione dei vettori:
Graficamente un vettore si rappresenta con un segmento orientato, la cui lunghezza è proporzionale al modulo del vettore. La direzione ed il verso (indicato da una freccia) del vettore sono quelli relativi al segmento orientato.
Punto A: Origine
Punto P: Estremità
È inoltre di uso corrente indicare un vettore anche come: (P-A) = v dove P-A è il segmento orientato che rappresenta il vettore v con origine in A.
Somma di vettori:
Due (o più) vettori possono essere sommati con la nota regola del parallelogramma.
Detto X un insieme di vettori e dati a e b due vettori qualunque, si ha:
∀ a, b ∈ X : a + b ∈ X
∃ 0 ∈ X : ∀a ∈ X, a + 0 = a
∀a ∈ X, ∃ (−a) ∈ X : a + (−a) = 0
∀ a, b, c ∈ X : (a + b) + c = a + (b + c)
∀ a, b ∈ X : a + b = b + a.
Da queste proprietà vettoriali riusciamo a concludere che: i vettori, possono essere considerati come elementi di un gruppo commutativo rispetto alla operazione di somma.
Come si definiscono:
È possibile definire un generico vettore definendone:
Modulo: la "lunghezza", ovvero il suo valore numerico.
Direzione: la retta su cui giace nello spazio.
Verso: uno dei due sensi possibili lungo la freccia direzione, la posizione della "punta della freccia".
Somma di vettori:
La somma di uno o più vettori si può calcolare applicando il teorema di pitagora.
Se i vettori hanno lo stesso verso possono essere sommati come una normale somma algebrica.
Prodotto di un vettore e le proprietà di uno spazio vettoriale:
Un vettore può essere moltiplicato per uno scalare k. Il prodotto ku si ottiene moltiplicando per k il modulo di u e conservando lo stesso verso di u se k > 0 e verso opposto se k < 0. Se k = 0 il vettore ku è uguale a 0. Se k = −1, si ha ku = −u che è il vettore opposto di u. L’operazione di prodotto di un vettore per uno scalare introduce nel gruppo una struttura di spazio vettoriale, detto S, in cui valgono le precedenti proprietà.
Per cui valgono:
∀α, β ∈ S, a ∈ X : (α + β)a = α a + β a
∀α, β ∈ S, a ∈ X : (αβ)a = α(βa) = β(α a)
∀α ∈ S, a, b ∈ X : α(a + b) = αa + α b
∃1 ∈ S, ∀a ∈ X : 1a = a.
Le componenti vettoriali:
Sono le coordinate del punto finale del vettore, assumendo che la sua origine si trovi nell'origine del sistema degli assi.
Esse possono essere calcolate mediante le formule:
Dove:
è la componente vettoriale delle x e
è la componente vettoriale delle y.
I vettori liberi:
Sono dei vettori, che rappresentano infiniti segmenti orientati equipollenti (che hanno la stessa lunghezza direzione e verso). Nello spazio i segmenti orientati equipollenti sono tanti quanti sono i punti, cioè ∞. Quindi un vettore libero non viene assegnato ad un determinato punto nello spazio, potendosi spostare liberamente purché si mantenga inalterato il modulo, la direzione ed il verso.
I vettori applicati:
Sono atti a rappresentare grandezze fisiche dotate di intensità, direzione, verso e con un punto di applicazione. Quindi il vettore applicato risulta dall’associazione di un vettore libero e di un punto di applicazione: (P1; v): v applicato in P1 (P2; v): v applicato in P2 (P3; v): v applicato in P3.
Nella Meccanica il concetto di vettore applicato corrisponde a forze applicate ad un punto materiale o ad un corpo rigido. In sintesi un vettore libero viene definito dal modulo, dalla direzione e dal verso, mentre un vettore applicato richiede anche la precisazione del punto di applicazione.
Vettori opposti:
Dato il vettore il v, il vettore - v, che ha lo stesso modulo, la stessa direzione, ma verso opposto, dicesi vettore “opposto” di v. Due vettori applicati opposti, che abbiano la stessa retta di applicazione, si dicono direttamente opposti.
I vettori unitari, "versori":
Il versore è un vettore unitario, cioè con modulo uguale ad 1, introdotto con l’obiettivo di definire l’orientamento di una retta o di un vettore. I versori corrispondenti agli assi cartesiani spesso sono indicati come i, j, k.
La teoria dei vettori rappresenta una delle fondamenta della matematica applicata alla fisica. Comprendere la natura delle grandezze vettoriali — la loro struttura, le operazioni che le regolano e il loro significato geometrico — consente di descrivere e interpretare fenomeni fisici complessi in modo rigoroso e sistematico. Dalle forze ai campi elettrici, dalle velocità alle accelerazioni, ogni grandezza che possiede direzione e verso trova nel formalismo vettoriale la sua rappresentazione più precisa. Lo studio dei vettori, inoltre, apre la strada all’analisi delle matrici e degli spazi vettoriali, strumenti indispensabili per la meccanica classica, l’elettromagnetismo, la fluidodinamica e l’ingegneria moderna. In questo senso, i vettori non costituiscono soltanto un argomento introduttivo, ma una chiave universale per comprendere la struttura matematica della realtà fisica.
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